一个点没有长度，一条线却有长度，这是一个很经典的困扰问题 一条线有无穷个点，难道0·∞(无穷大)≠0吗？是，也不是 取经典的区间[0,1]，很容易知道他的长度是1 每个有理数点的长度是0，那里面这无限个有理数点合起来呢？ 答案也是0，那这个区间的长度到底是由谁提供的 我们都知道，有理数rational number的rational，一般是理性的意思，但这里rational是ratio的形容词，ratio是比例，那有理数精确翻译就是可比数 这也是有理数的定义，可以表示为两个整数之比的数字就是有理数，比如2就是2/1，0.333.....就是1/3 这样，就知道了无理数的定义，不能表示为两个整数之比的实数 可数在英语语法里就是有限，不可数就是无限；但在数学上，可数分为有限可数和无限可数，有限可数和自然数的有限子集一一对应，无限可数和自然数集合对于，可数就是可以和自然数集合或者他的有限子集一一对应（双射） 不可数一定是无限的，指没办法和自然数集合一一对应 为什么不说到自然数的无限子集，因为自然数的任何无限子集都是无限可数的，即自然数的所有无限子集都可以和自然数集合一一对应 事实上，奇数、偶数、自然数、正数、负数、分数、整数、有理数都是无限可数的，他们都是等势的 所以，在无限集合上，局部可以等于整体 回到最开始的问题，[0,1]的长度到底是谁提供的？ 事实上，有理数虽然无限，但仍然是可数的，可数点的长度(测度)之和永远是0 那么，提拉应该知道，[0,1]里面除了有理数，还有无理数 事实上，无理数比有理数稠密得多，几乎所有实数都是无理数，由于无理数不可数，那么[0,1]长度为1，其实就是由无理数提供的，把[0,1]的有理数挖掉，长度仍然是1，但把里面的无理数挖掉，长度就变成0 这就到此为止了吗 其实不然，事实上无理数的无限子集也可以可数，比如那些开方开不尽的无理数 实数可以分成有理数和无理数，但还可以分成代数数和超越数，代数数就是可以作为一个整系数多项式之解的数，比如3/7就是3x+7＝0的解，事实上所有开方开不尽的数也是整系数多项式的解，比如根号2是x²-1＝0的解 所有有理数都是代数数，开方开不尽的无理数也是代数数，由于代数数可以和整系数多项式关联，那显而易见，代数数可以和整数一一对应，可以和自然数一一对应，是可数的，所有代数数的长度为0 超越数就是无法作为整系数多项式之解的数，比如π、e(自然常数)，他们可以由有理数的无穷数列求和或者无穷极限得到，但无限改变了他们的性质，使得他们和有理数不同了 无限个超越数的长度不为0，[0,1]里面挖掉长度为0的有理数和代数无理数，区间长度仍然是1 所有实数基本上是无理数，所有无理数基本上是超越数 从而，所有的实数基本上是超越数，长度就是由超越数保证的 这就结束了吗？没有 根据普朗克等人的理论，我们的宇宙事实上是有限的，不是无限可数，也不是不可数，都是有最小粒子，最小基本单位，实际物理上，宇宙是一个很大的有限非负整数，那长度怎么得到？ 事实上长度除了可以由（一维）测度得到，还可以由距离得到，[0,1]里全部有理数的测度之和为0，但他们的距离之和却是1 同理，物理上的长度就是由粒子的微小距离之和构成，并且由于宇宙是有限的大数，所以在物理世界，部分等于整体不成立